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PROGRESIONES

 


1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS.

2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

3. EJERCICIOS.

 


1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma.
Por lo tanto, cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la diferencia) al término anterior.

Actividad 1:

En esta escena puedes construir progresiones aritméticas, basta que indiques el primer término y la diferencia.

a)Crea cinco progresiones. Procura que el primer término sea distinto, en cada ejemplo, y que la diferencia en unos casos sea positiva y en otros negativa.

b)Copia en tu cuaderno los diez primeros términos de cada sucesión y los términos de lugar 100, 1.000 y 10.000.

c)Elige una de las progresiones que has construido e intenta obtener una fórmula que te permita obtener cualquier término a partir del lugar que ocupa (n).
an =

d)Intenta extender el resultado obtenido a las otras cuatro.

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
En todas las progresiones aritméticas se puede encontrar una expresión que permite obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta expresión se le denomina término general de la progresión aritmética.

Actividad 2:

Analiza la sucesión de la escena con los siguientes pasos:

paso_1 Observa que cada término es igual al anterior  más la diferencia.
(Cambia el valor de n para comprobarlo)
paso_2 Observa que todos los términos se pueden expresar dependiendo del  primero.
(Cambia el valor de n)
Observa la relación que hay entre la posición de cada término y él número que multiplica a la diferencia.
(Cambia el valor de n)
Busca el término general de la sucesión del ejemplo. Prueba con distintas sucesiones y busca la fórmula general para cualquier sucesión.
paso_3 Muestra el término general.

Término general

an=  a1+(n-1)*d
 

 

EJERCICIOS DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se trata de obtener el término general de las progresiones aritméticas que se proponen.

Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones aritméticas y calcula su término general:

Términos a1 d an
3, 7, 11, 15, ...      
-12, -9, -6, -3, ...      
12, 9, 6, 3, ...      
6, 6, 6, 6, ...      
10, 3, -4, -11, ...      
120, 152, 184, ...      

En cada caso anota el primer término a1 y la diferencia d, aplica la fórmula general y efectúa las operaciones indicadas.

Puedes comprobar los resultados en la escena.

SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuando Gauss (matemático alemán del siglo XIX) estudiaba en la escuela, su maestro propuso a los alumnos calcular la suma de los cien primeros números, con objeto de que practicaran la suma de números enteros. La sorpresa del maestro fue que nada más terminar de enunciar el ejercicio Gauss le dio la solución:5.050.

Aquí se usa el mismo proceso que siguió Gauss para resolver ese problema.

Actividad 3:

Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.

Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que los términos equidistantes suman lo mismo.

Prueba con otro número de términos (11, 12, ..., 100, ...) y comprueba que se sigue verficando.

Busca la expresión que permite obtener la suma de los n primeros términos. En el paso_2 puedes ver la solución.

En el paso_3 puedes ver la fórmula general.

   
EJERCICIOS DE LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se trata de obtener la suma de los términos que se indican en cada una de las progresiones aritméticas que se proponen.

 

Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones aritméticas y calcula la suma de los términos que se indican:

Progresión a1 an Sn
100 3, 7, 11, 15, ...      
250 -12, -9, -6, -3, ...      
87 12, 9, 6, 3, ...      
25 -6, -2, 2, 6, ...      
1000 10, 3, -4, -11, ...      
35 120, 152, 184, ...      

En cada caso anota el primer término a1 y el último an, aplica la fórmula general y efectúa las operaciones indicadas.

Puedes comprobar los resultados en la escena.

Un poco de historia.

En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los mas grandes matemáticos. 

Intenta enterarte de algo más sobre él.


 

2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

 

DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Se denomina progresión geométrica a una sucesión de números en la que el cociente (o la razón) entre dos términos consecutivos es siempre igual.
Por lo tanto, cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad (la
razón) al término anterior.

 

Actividad 1:

En esta escena puedes construir progresiones geométricas, basta que indiques el primer término y la razón.

a)Crea cinco progresiones. Procura que el primer término sea distinto, en cada ejemplo, y que la razón en unos casos sea positiva mayor que 1, en otros positiva menor que 1 y en otros negativa.

b)Copia en tu cuaderno los cinco primeros términos de cada sucesión y los términos de lugar 10, 20 y 50.

c)Elige una de las progresiones que has construido e intenta obtener una fórmula que te permita obtener cualquier término a partir del lugar que ocupa (n).
an =

d) Intenta extender el resultado obtenido a las otras cuatro.

   

 

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
En todas las progresiones geométricas se puede encontrar una expresión que permite obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta expresión se le denomina término general de la progresión geométrica.

Actividad 2:

Analiza la sucesión de la escena con los siguientes pasos:

paso_1 Observa que cada término es igual al anterior  por la razón.
(Cambia el valor de n para comprobarlo)
paso_2 Observa que todos los términos se pueden expresar dependiendo del  primero.
(Cambia el valor de n)
Observa la relación que hay entre la posición de cada término y el número a que está elevada la razón.
(Cambia el valor de n)
Busca el término general de la sucesión del ejemplo. Prueba con distintas sucesiones y busca la fórmula general para cualquier sucesión.
paso_3 Muestra el término general.

Término general

an=  a1*r(n-1)
 
EJERCICIOS DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Se trata de obtener el término general de las progresiones geométricas que se proponen.

Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones geométricas y calcula su término general:

Términos a1 r an
1, 3, 9, 27, 81, ...      
-5, -10, -20, -40, ...      
1024, 512, 256, ...      
6, 6, 6, 6, ...      
100, 150, 225, ...      
1000, -100, 10, ...      

En cada caso anota el primer término a1 y la razón r, aplica la fórmula general y efectúa las operaciones indicadas.

Puedes comprobar los resultados en la escena.

SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Se pretende obtener una fórmula que nos permita calcular la suma de n términos de una progresión geométrica.

Actividad 3:

Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.

Si se multiplican los términos de la sucesión por la razón se obtienen casi los mismos sumandos. Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que los términos son casi iguales.

Prueba con otro número de términos (11, 12, ..., 100, ...) y comprueba que se sigue verificando.

Si se restan ambas sumas se pueden eliminar los términos idénticos, como se ve en el paso_2 (1, 2, ...).

En el paso_3 (1, 2, 3)puedes ver la fórmula general.

   
SUMA DE TODOS LOS TÉRMINOS CUANDO |r| <1
Cuando la razón de la progresión geométrica es un número entre -1 y 1 se pueden sumar los infinitos términos, como se ve en esta escena.

Actividad 4:

Observa la suma de los cinco primeros términos.

Aumenta el número de sumandos y observa que la suma que se obtiene se va acercando a un número.

Prueba con otras progresiones, cambiando el primer término o la razón.

Busca la expresión que permite obtener la suma de todos los términos basándote en la formula del apartado anterior y teniendo en cuenta que el último término puede considerarse nulo.

En el paso_1 puedes ver la fórmula general.

 


 

3. EJERCICIOS.

 


 

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Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

autora  
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006